By Prof. Dr. Erich Lamprecht (auth.)
Das vorliegende Buch enthält den Stoff einer einsemestrigen vierstündigen Einführungsvorlesung für Studienanfänger. Im ersten Kapitel werden einige Grundbegriffe der elementaren naiven Mengenlehre und der mathematischen Terminologie zusammengestellt sowie die einfachsten Ergebnisse über algebraische Verknüpfungen hergeleitet; Bemerkungen aus der Kombinatorik, über Permutationsgruppen und die algebraische Diskussion der komplexen Zahlen veranschaulichen die auftretenden Begriffe. Nach Diskussion eines algorithmischen Lösungs- und Entscheidungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme werden im zweiten Kapitel wichtige Rechentechniken der linearen Algebra behandelt. Anwendungen in der analytischen Geometrie ergänzen den Stoff. Das dritte Kapitel enthält eine Einführung in die Ringtheorie, die Diskussion der euklidischen Ringe Z und K(x) und Restklassen- und Quotientenstrukturen; die Hauptachsentranformation reell-symmetrischer Matrizen und Ergänzungen zur Gruppentheorie runden den Stoff ab. Im Rahmen der Untersuchungen wird umfangreiches Beispielmaterial für algebraische Begriffe und Strukturen als Vorbereitung auf weiterführende Vorlesungen geliefert.
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C, =boQ]o . 2b) OCr. = (al ° ... ° an ° b) ° (C] ° ... 2) = «al ° ... ° an) ob) ° (CI ° ... 1c) =(bo(a]o", oan»o(c]o", oc,) nach (KO) = (b ° a] ° ... ° an) ° (c] ° ... d. • • • 0 an 0 Cl 0 • • • 0 er _ Bezeichnung. Ist (AO) in (M; 0) erfüllt, so nennt man (M; 0) eine Halbgruppe ; ist zusätzlich noch (KO) erfüllt, so spricht man von einer abelschen oder kommutativen Halbgruppe. Die obigen Regeln lassen sich natürlich auch auf spezielle Verknüpfungen anwenden, sofern diese die zugehörigen Voraussetzungen erfüllen.
Am ) E R m • Der Vollständigkeit halber erwähnen wir noch Definition 1E. h. 7f) existiert, so heißt (M; 0) ein Monoid; ist zusätzlich noch (KO) erfüllt, so heißt (M; 0) ein abelsches oder kommutatives Monoid. ErgänzungeD zu §2 Die nachstehenden ersten weiteren Bemerkungen über Gruppen werden zwar im nachfolgenden nicht unmittelbar benötigt, können aber das Verständnis für den Gruppenbegriff vertiefen. Bezeichnungen. 8) aeG die Ordnung der Gruppe. 8a) (nicht notwendig alle voneinander verschieden), so heißt (G; 0) eine zyklische Gruppe mit dem erzeugenden Element a.
Für die Menge M Verknüpfung = Abb (E, E) ist die algebraische stets assoziativ. 0 Bemerkung 6. Zum Nachweis der Assoziativität einer Verknüpfung genügt es somit zu zeigen, daß Mals Abbildungsmenge und aals Hintereinanderausführung interpretiert werden kann. 0 Das nachfolgende Beispiel soll noch zeigen, daß eine solche Verknüpfung nicht kommutativ zu sein braucht. ~ Sei E = {I, 2} und wähle { I 0-+ I} f: 20-+1 ' g I 0-+ 2} ~g0f: { 20-+2' f, gaus M = Abb (E, E) gemäß : {10-+2} 20-+1 fo g : { I 0-+ I} .