By F. Weinberg (auth.), F. Weinberg (eds.)
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1. ); Operation 2 Auswahl eines Matrixelementes für den nächsten BranchSchritt (§ 3. 2 . ); Operation 3b: Branch nach (i, k) und Berechnung des zugehörigen Bounds (§ 3. 32. ) . - 24 - Anzahl Städte 6 Nach 1 2 3 4 5 6 1 00 27 43 16 30 26 2 7 00 16 1 30 25 3 20 13 00 35 5 0 4 21 16 25 00 18 18 5 12 46 27 48 00 5 6 23 5 5 9 5 00 Von Es handelt sich also um ein Problem mit nichtsymmetrischer Distanzmatrix. Dies, um zu zeigen, dass der Algorithmus auch in die sem Fall funktioniert. Fig. 1. Suche nach einer ersten zulässigen Lösung Schritt 0 Operation 1 Reduktion der Matrix.
Eine erste Aufspaltung des Knotens "Alle" in m neue Knoten erhält man, indem man für jeden dieser Knoten w 1 festlegt. Da w 1 die Werte I, 2, ... , m annehmen kann, ergeben sich gerade m verschiedene neue Knoten. Die nächste Aufspaltung in weitere Knoten legt für jeden weiteren Knoten w 2 fest. Da w 2 nur noch rn-I verschiedene Werte annehmen kann, liefert die Aufspaltung in dieser Ebene rn-I Knoten. Jeder dieser zuletzt erhaltenen Knoten ist durch ein spezielles (w 1 ' w 2 ) eindeutig gekennzeichnet.
Die Knospe mit dem kleinsten L(w) stellt dann eine optimale Lösung dar. - 36 - 5. AUSFUEHRUNG DES ERLAEUTERTEN BRANCH AND BOUNDALGORITHMUS IN EINEM NUMERISCHEN BEISPIEL Wie man bei einem vorgegebenen Problem mit drei Maschinen gemäss dem beschriebenen Algorithmus vorgeht, soll in einem Beispiel mit 6 Aufträgen gezeigt werden. Die Matrix D dieses Problems sei folgendermassen gegeben: D = 5 8 20 6 30 6 30 4 5 2 5 3 3 10 4 4 1 4 Beispiel eines Rechenganges zur Berechnung des Bound g der Knoten, die sich bei der Aufspaltung des Knotens IIAlle ll ergeben: w 1 =5 = a(5) +b(5) + c(5) = 17, f w (5, 3) ~c(i) = 38 ir 5 = gl 17 + 38 = 55 f w (5, 2) = a(5) +b(5) = 13, g 11 ~b(i) = 48, ir 5 = 13 + 48 + 3 = 64 6 ~ a(s) = 50, s=1 Min (c(i) + b(i)) = 50 ir 5 = glll 50 + 5 55 g Max (g I, g I I, g 111) = 64 Tabellarische Uebersicht zur Aufspaltung des ersten Knotens IIAlle ll : w1 gl g" g"l 1 55 66 55 66 2 78 67 55 78 3 76 91 55 91 4 49 64 55 64 5 55 64 55 64 6 47 65 58 65 g - 37 - Beispiel zum Rechengang bei der Aufspaltung des Knotens, der durch w 1 =4 festgelegt ist: ~ c(i) f w (3, 3) = 41 , 34, g' = 75 g" = 89 if3,4 f w (3, 2) = 36, ~ b(i) = 49, = 4, Min (c(i)) if3,4 0,1 lr 3,4 6 ~a(s) = 50, s=1 g Min (b(i) + c(i)) if3,4 = 89 Tabellarische Uebersicht zur Aufspaltung des Knotens, der w 1 w 1, w 2 g"' = 55 5 g' g" g"' =4 festlegt: g 4 1 54 64 55 64 4 2 77 65 55 77 4 3 75 89 55 89 4 5 56 64 55 64 4 6 49 64 59 64 Es wird versuchsweise mit der Aufspaltung des Knotens w 1 = 4, w 2 = 1 fortgefahren.