By Nicolas Bourbaki
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3). On vérifie aisément qu'on a y = 1 -(x - xnen)et 1 - xn Si on désigne par A le complémentaire de {en) par rapport à Sn-,, ces formules prouvent qu'on a défini ainsi un homéomorphisme de A sur l'hyperplan H. Cet homéomorphisme est appelé projection stérkographique de A sur H, ou, par abus de langage, projection stéréographique de Sn-, sur H (cf. A, IX, Ej 10, exerc. 14); en est le point de vue de la projection, H l'hyperplan de projection. Plus généralement, si a est un point de Sn-, et H' l'hyperplan passant par O et orthogonal à la droite passant par O et a, on définit de la même manière la projection stéréographique de point de vue a sur l'hyperplan de projection Hf.
21). En particulier, on sait que toute application affine de Rn sur lui-même est bijective, et que son application réciproque est encore une application affine (A, II, p. 101, corollaire); donc, toute application affine de R n sur lui-même est un homéomorphisme (et un automorphisme de la structure uniforme de Rn). Soit (ai)l,l,n un système libre de n vecteurs de R n (ou, ce qui revient au même (A, II, p. 97, prop. l ) , une base de l'espace vectoriel Rn); si b est un point n quelconque de Rn, l'ensemble P des points x = b -1 < u, + <2= 1 utai, .
X, l'élément de Îj; appliquant ce qui précède, on pourra éventuellement prolonger cette fonction par continuité, non seulement à certains des points de R n adhérents à E, mais aussi à certains des << points à l'infini )) de P,, adhérents à E. Montrons qu'on retrouve ainsi, par exemple, le prolongement par continuité à Îi tout entier d'unefonction rationnelle d'une variable réelle, déjà défini en Algèbre (A, II, p. 136). Identifions Îj et Pl, tout nombre réel x E R étant identifié au point de coordonnées homogènes (1, x), le point co au point de coordonnées homogènes (0, 1).