By Gerd Laures
Die Topologie besch?ftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so m?chtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde.
Dieses Buch versteht sich als Br?cke von den einf?hrenden Vorlesungen der research und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Es eignet sich besonders f?r Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang der Mathematik, kann aber auch zum Selbststudium f?r mathematisch interessierte Naturwissenschaftler dienen.
Die Autoren legen besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und damit erleichtert. Definitionen werden stets mit vielen Beispielen unterlegt und neue Konzepte werden mit zahlreichen Bildern illustriert. ?ber a hundred and seventy ?bungsaufgaben (mit L?sungen zu ausgew?hlten Aufgaben auf der web site zum Buch) helfen, die vermittelten Inhalte einzu?ben und zu vertiefen. Viele Abschnitte werden erg?nzt durch kurze Einblicke in weiterf?hrende Themen, die einen Ausgangspunkt f?r Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten.
Neben dem ?blichen Stoff zur mengentheoretischen Topologie, der Theorie der Fundamentalgruppen und der ?berlagerungen werden auch B?ndel, Garben und simpliziale Methoden angesprochen, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie geh?ren.
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Unmittelbar aus der Definition folgt etwa, dass man gut stetige Abbildungen auf ihnen definieren kann. Man versucht oft, beliebige Räume durch solche schönen Räume ‚aufzulösen‘. Überhaupt steht man in der Topologie oft vor dem Problem, topologische Räume mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Diese werden dann meist aus Zellen konstruiert. Ergänzungen Köcher. Man kann auch mehrere Zellen gleichzeitig anheften. Der einfachste Fall ist der folgende: Ein Köcher Q = (Q0 , Q1 , s, t) besteht aus einer Menge Q0 von Ecken, einer Menge Q1 von Kanten sowie zwei Abbildungen s, t : Q1 → Q0 , welche jeder Kante zwei Eckpunkte zuordnen.
Die Hausdorff-Eigenschaft wird besonders im Zusammenhang mit der Kompaktheit im nächsten Kapitel eine entscheidende Rolle spielen. 48 3 Zusammenhang und Trennung Beispiele: Jeder metrisierbare Raum ist ein Hausdorff-Raum, denn die ε-Umgebungen zweier verschiedener Punkte sind disjunkt, falls ε höchstens die Hälfte des Abstandes der beiden Punkte ist. Jeder Hausdorff-Raum erfüllt offensichtlich auch T1. ). Versieht man die natürlichen Zahlen mit der ‚Komplemente-endlicher-TeilmengenTopologie‘, so sind Punktmengen abgeschlossen, aber alle anderen Trennungseigenschaften gelten nicht.
Beispiele: Definiere eine Äquivalenzrelation auf dem Intervall [0, 1], bei der zwei Elemente äquivalent sind, wenn sie gleich sind oder zum Rand {0, 1} gehören. In dieser Situation sagt man, dass die Äquivalenzrelation von der Relation 0∼1 erzeugt ist. Der Quotientenraum entsteht also aus dem Intervall durch das Identifizieren von 0 mit 1. Dieser Raum ist homöomorph zur Kreislinie, denn [0, 1] −→ S 1 ; x → exp(2πix) ist eine offene stetige Abbildung, die über den Quotientenraum faktorisiert, weil exp(2πi · 0) = 1 = exp(2πi · 1), und die induzierte Abbildung [0, 1]/∼ → S 1 eine offene stetige Bijektion ist.