By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)
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(Internationale Mathematische Nachrichten)
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Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics, Volume 139)
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Central Simple Algebras and Galois Cohomology
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Introduction to Topology: Third Edition
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Ist es nicht schwer nachzupriifen, dafi X/Ai,... ,Ar ein Hausdorffraum ist, wenn die A{ abgeschlossen sind und X metrisierbar ist. 3 ein Gegenbeispiel. BEISPIEL 1 (KEGEL UBER EINEM RAUM): Sei X ein topologischer Raum. Dann heifit CX := X X [0,1]/X x 1 der Kegel iiber X. [0,1] CX So eine Skizze ist natiirlich wieder nur sinnbildlich zu verstehen, aber ist sie als Sinnbild gut gewahlt? Sollte man nicht, da bei der Bildung von X/A das Komplement X \ A unverandert bleibt, den Kegel so darstellen: Xxiecx I Nein, dieses Bild erzeugte eine falsche Vorstellung von der Topologie des Kegels, denn nach Definition der Quotiententopologie mufi jede Umgebung der Kegelspitze eine Umgebung des Deckels als Urbild im Zylinder haben, wie es nur das obere Bild richtig Kapitel 3.
Axiom 2: Die Skalarmultiplikation K X E —* E ist stetig. B. Dunford-Schwartz [7]; Bourbaki [1] aber nicht). Statt der Stetigkeit der Subtraktion konnte man ebensogut die Stetigkeit der Addition fordern, denn aus Axiom 2 folgt ja insbesondere die Stetigkeit von E —> E, x t—> —x, und deshalb die von E x E —> E X E, (x,y) H-> (x,-y). Im Axiom 1 Subtraktion statt Addition zu schreiben, hat aber einen, wenn auch nur asthetischen, so doch guten Grund, den ich nennen will. Wie hier die Begriffe Vektorraum und topologischer Raum eine Verbindung eingehen, so gibt es noch mehr interessante und mitzliche Begriffe, die aus der Verbindung algebraischer Strukturen mit der Topologie entstehen.
Notiz: Die Quotiententopologie ist offenbar die feinste Topologie von X /~ , fur die n noch stetig ist. 40 Kapitel 3. Die Quotiententopologie Wie wir fur die Begriffe Teilraum, Summe und Produkt einfache Sinnbilder haben, an denen sich unsere Anschauung fur's erste festhalten kann: 'X Teilraum Xo C X Summe X + Y x Y Produkt X xY so mochte ich Ihnen auch ein Sinnbild fur den Quotientenraum vorschlagen. : u Die nachsten beiden Paragraphen behandeln alles, was wir an "Theorie" iiber den Quotientenraum wissen miissen, und dann kommen wir zum eigentlich Interessanten, namlich zu den in der Mathematik wirklich vorkommenden Beispielen.