By N. Bourbaki
Topologie générale, Chapitres five � 10
Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce deuxième quantity du Livre de Topologie générale, troisième Livre du traité, décrit de nombreux outils fondamentaux en topologie et en examine, tels que le théorème d’Urysohn, le théorème de Baire ou les espaces polonais. Il comprend les chapitres :
- Groupes � un paramètre ;
- Espaces numériques et espaces projectifs ;
- Les groupes additifs Rn ;
- Nombres complexes ;
- Utilisation des nombres réels en topologie générale ;
- Espaces fonctionnels.
Il contient également des notes historiques.
Ce quantity a été publié en 1974.
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3). On vérifie aisément qu'on a y = 1 -(x - xnen)et 1 - xn Si on désigne par A le complémentaire de {en) par rapport à Sn-,, ces formules prouvent qu'on a défini ainsi un homéomorphisme de A sur l'hyperplan H. Cet homéomorphisme est appelé projection stérkographique de A sur H, ou, par abus de langage, projection stéréographique de Sn-, sur H (cf. A, IX, Ej 10, exerc. 14); en est le point de vue de la projection, H l'hyperplan de projection. Plus généralement, si a est un point de Sn-, et H' l'hyperplan passant par O et orthogonal à la droite passant par O et a, on définit de la même manière la projection stéréographique de point de vue a sur l'hyperplan de projection Hf.
21). En particulier, on sait que toute application affine de Rn sur lui-même est bijective, et que son application réciproque est encore une application affine (A, II, p. 101, corollaire); donc, toute application affine de R n sur lui-même est un homéomorphisme (et un automorphisme de la structure uniforme de Rn). Soit (ai)l,l,n un système libre de n vecteurs de R n (ou, ce qui revient au même (A, II, p. 97, prop. l ) , une base de l'espace vectoriel Rn); si b est un point n quelconque de Rn, l'ensemble P des points x = b -1 < u, + <2= 1 utai, .
X, l'élément de Îj; appliquant ce qui précède, on pourra éventuellement prolonger cette fonction par continuité, non seulement à certains des points de R n adhérents à E, mais aussi à certains des << points à l'infini )) de P,, adhérents à E. Montrons qu'on retrouve ainsi, par exemple, le prolongement par continuité à Îi tout entier d'unefonction rationnelle d'une variable réelle, déjà défini en Algèbre (A, II, p. 136). Identifions Îj et Pl, tout nombre réel x E R étant identifié au point de coordonnées homogènes (1, x), le point co au point de coordonnées homogènes (0, 1).