By Klaus D Schmidt
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Die absoluten H¨aufigkeiten besitzen folgende Eigenschaften: (i) F¨ ur alle A ∈ F gilt 0 ≤ An [A] ≤ n . (ii) Es gilt An [Ω] = n . (iii) F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ gilt An [A + B] = An [A] + An [B] . Die absoluten H¨aufigkeiten sind vom Zufall abh¨angig. 30 Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten Da die absoluten H¨aufigkeiten mit der Anzahl der Versuche wachsen, ist es sinnvoll, zu normierten Gr¨oßen u ¨berzugehen, die nicht von der Anzahl der Versuche abh¨angen. F¨ ur A ∈ F nennen wir An [A] n den Anteil der Erfolge oder die relative H¨aufigkeit von A ∈ F bei n Versuchen.
Eine σ–Algebra enth¨alt also mit jedem Ereignis sein Komplement und mit jeder abz¨ahlbaren Familie von Ereignissen die Vereinigung und den Durchschnitt der Ereignisse dieser Familie. ur A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ setzen wir Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra. 1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume – (paarweise) disjunkt, wenn Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur alle i, j ∈ I mit i = j gilt; in diesem Fall setzen wir i∈I – 29 Ai := i∈I Ai Zerlegung von A ∈ F , wenn sie disjunkt ist und i∈I Ai = A gilt. Von besonderer Bedeutung werden Zerlegungen von Ω sein.
N} x P [{X = x}] = ⎩ 0 sonst gilt. In diesem Fall gilt BX = {0, 1, . . , n} . Interpretation: X ist die Anzahl der roten Kugeln, die sich beim n–maligen Ziehen mit Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit roten und andersfarbigen Kugeln einstellt, wenn der Anteil der roten Kugeln in der Urne gleich ϑ ist. Allgemeiner ist X die Anzahl der Erfolge bei n unabh¨angigen und identischen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit ϑ . Bemerkung: Es gilt B(1, ϑ) = B(ϑ) . (4) Poisson–Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die Poisson–Verteilung P(α) mit dem Parameter α ∈ (0, ∞) , wenn ⎧ x ⎨ e−α α x!