By Prof. Dr. Horst Knörrer (auth.)
Das Buch bietet die Möglichkeit, geometrisches Wissen und Verständnis zu gewinnen, das in fortgeschrittenen Vorlesungen häufig vorausgesetzt, im Grundstudium aber selten geboten wird. Ausgehend von elementaren Kenntnissen in Linearer Algebra und research wird eine Fülle von konkreten geometrischen Tatsachen dargestellt. Dabei steht die Anschauung im Vordergrund, präzise Beweise fehlen aber nie. Auf die Bedürfnisse der Physik wird besondere Rücksicht genommen. Die einzelnen Kapitel des Buches können unabhängig voneinander gelesen werden. Im textual content und in ergänzenden Bemerkungen wird aber immer wieder auf die Beziehungen der einzelnen Themenkreise untereinander und zu anderen Gebieten der Mathematik und der Physik hingewiesen. Für die Neuauflage dieses Buches wurde der textual content behutsam verbessert und aktualisiert.
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Lernziele Die Klarung einschlagiger G run d beg r i f feist notwendige Voraussetzung fur das Verstandnis einer jeden Abhandlung. Der Leser wird deshalb auch bei diesem Lehrbuch zunachst mit dem spezifisch begrifflichen Instrumentarium vertraut gemacht, das der Arbeit zu grunde gelegt werden soll. Dies erscheint insbesondere auch deshalb als wichtig, weil die benutzten Begriffe in Literatur und Praxis bisher keine eindeutige Abgrenzung erfahren haben.
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2 . Es sei E die Ebene durch g1 und g2 . Ferner sei E1 die Ebene durch g1 , die mit E den Winkel 1 1 2 α1 bildet, und E2 die Ebene durch g2 , so daß E mit E2 den Winkel 2 α2 bildet. Mit s bzw. s1 bzw. s2 bezeichnen wir die Spiegelung an E bzw. E1 bzw. E2 . 5 sieht man, daß ϕ1 = s ◦ s1 und ϕ2 = s2 ◦ s. Dann ist ϕ2 ◦ ϕ1 = (s2 ◦ s) ◦ (s ◦ s1 ) = s2 ◦ (s ◦ s) ◦ s1 = s2 ◦ id ◦ s1 = s2 ◦ s1 Wie oben sieht man, daß s2 ◦ s1 eine Drehung an der Schnittgeraden von E1 und E2 ist. 6. 44 1 Symmetriegruppen Der wesentliche Schritt bei der Untersuchung der endlichen Untergruppen von O(3) ist die Klassifikation aller endlichen Untergruppen von SO(3), also der endlichen Drehgruppen“.
Sind insbesondere s1 ,s2 ∈ G, so ist s2 ◦ s1 ∈ H = Cn , also ist 2α ein Vielfaches von 1/n · 360◦ . Dies zeigt, daß der Winkel der Achse einer jeden Spiegelung in G mit der Achse g ein Vielfaches von 1/n · 180◦ ist. Andererseits ist f¨ ur jedes j ∈ N die Hintereinanderschaltung r j/n·360◦ ◦ s der Drehung r j/n·360◦ um j/n · 360◦ und der Spiegelung s eine Spiegelung an der Achse, die mit g den Winkel j/n · 180◦ bildet. ¨ Ubung: Zeigen Sie: Ist rα die Drehung um den Winkel α um O und s die Spiegelung an der Achse g durch O, so ist rα ◦ s die Spiegelung an der Achse g durch O, die mit g den Winkel 1/2 α bildet!
Diese Abbildungen kehren alle die Orientierung“ des Raumes um, w¨ahrend die ” Elemente von SO(3) die Orientierung“ erhalten. Also ist ” SO(3) = { ϕ ∈ O(3) | ϕ erh¨ alt die Orientierung‘ im Raum“ } ” ’ Da mit zwei Abbildungen ϕ1 und ϕ2 , die die Orientierung“ erhalten, auch die ” Hintereinanderschaltung ϕ1 ◦ ϕ2 die Orientierung“ erh¨alt, folgt, daß SO(3) eine ” Untergruppe von O(3) ist. Wir wollen jedoch den Begriff der Orientierung“ nicht benutzen und geben einen ” anderen, konstruktiveren Beweis.