By Norbert Herrmann
Mathematik ist ein ziemliches Schreckgespenst für viele Studienanfänger in den Naturwissenschaften. Dabei muss das gar nicht sein. In diesem Buch geht der Autor einen neuen Weg. Statt alte Schulstoffe zu wiederholen, kann er die gewonnene Zeit nutzen, um Sie mit vielen anschaulichen Beispielen in die höhere Mathematik zu führen. Ohne Zahnweh lernen Sie so die mehrdimensionale research kennen. Dabei dient der Schulstoff immer wieder als Unterbau.
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Example text
Wir sollten noch einmal betonen, dass diese wundersch¨ one Regel nur f¨ ur (3 × 3-Matrizen verwendet werden kann. Sie l¨ asst sich nicht auf gr¨ oßere Matrizen verallgemeinern. Das bitte unbedingt im Ged¨ achtnis behalten. 1 Erste einfache Erkl¨ arungen 25 Mit einem Beispiel wird es noch leichter. Sei dazu ⎛ ⎞ 1 2 3 ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ 4 5 6 ⎝ ⎠ 7 8 9 Dann rechnen wir mit Herrn Sarrus: ✜ ✗ 1 2 3 4 5 6 8 2 ❥9 s3 5 ❥6 ✰ 7 ✖ ✰ 1 4✙ ✢ det(A) = 1 · 5 · 9 + 4 · 8 · 3 + 7 · 2 · 6 −3 · 5 · 7 − 6 · 8 · 1 − 9 · 2 · 4 = 45 + 96 + 84 − 105 − 48 − 72 = 225 − 225 = 0 Abb.
C) Berechnen Sie diese L¨ osung mit der L-R-Zerlegung. 2. Gegeben sei die Matrix ⎛ 4 2 −2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 −1 −5 ⎟ ⎜ ⎟. A=⎜ ⎟ −2 −1 5 4 ⎝ ⎠ −4 −5 4 23 a) Berechnen Sie mit Spaltenpivotisierung die L-R-Zerlegung von A. b) Begr¨ unden Sie mit der L-R-Zerlegung aus (a), daß A regul¨ ar ist. 3. Von einer Matrix A sei folgende L-R-Zerlegung bekannt: A=L·R ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 0⎟ ⎟, mit L = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝1 3 1 0⎠ 0 1 2 1 ⎛ ⎞ 2 3 −2 0 ⎜ ⎟ ⎜0 −1 2 1⎟ ⎟ R=⎜ ⎜ ⎟ ⎝0 0 2 2⎠ 0 0 0 1 a) Begr¨ unden Sie ohne explizite Berechnung von A, daß A regul¨ ar ist.
6 Permutationsmatrizen P sind regul¨ ar und orthogonal, es gilt also P −1 = P . Das folgt sofort aus der 5. 9, Seite 20. a. nicht symmetrisch. Denken Sie an die Aussage 7. 2, Seite 9. Mit diesen Begriffen k¨ onnen wir jetzt erkl¨ aren, wann eine L-R-Zerlegung einer Matrix A durchf¨ uhrbar ist. 7 Sei A eine regul¨ are (n × n)-Matrix. Dann gibt es eine Permutationsmatrix P , so dass die folgende L-R-Zerlegung durchf¨ uhrbar ist: P · A = L · R. 12) Man kann also bei einer regul¨ aren Matrix stets durch Zeilentausch, was ja durch die Linksmultiplikation mit einer Permutationsmatrix darstellbar ist, die L-RZerlegung zu Ende f¨ uhren.